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Résumé |
Par analogie avec l'exemple élémentaire de l'oscillateur
harmonique, des modèles intégrables de la classe
Calogero-Sutherland-Moser, ou encore la chaîne de Toda
ouverte pour lesquels une formulation (q-)hypergéométrique
des fonctions propres (en termes des polynômes d'Hermite à
une variable, Macdonald-Koornwinder multivariables ou cas
limites type (q-)Whittaker ou Hall-Littlewood) est connue, je
montrerai que la famille bispectrale des polynômes
multivariables orthogonaux de Gasper-Rahman (généralisant
ceux d'Askey-Wilson) offrent une base q-hypergéométrique
permettant de construire les fonctions propres du Hamiltonien
de la classe des modèles intégrables générés par l'algèbre
q-Onsager (ex: Ising, chiral Potts superintegrable, XY,
chaîne XXZ ouverte avec bords génériques,...). Dans une
première partie, la structure des polynômes de Gasper-Rahman
et leurs propriétés (orthogonalité, bispectralité) seront
rappelées.
Dans une seconde partie, la construction systématique de
modules de dimension infinie et finie de l'algèbre q-Onsager
en termes de ces polynômes sera décrite.
Dans une troisième partie, l'action de la sous-algèbre
Abélienne (génératrice des quantitiés conservées) dans la
base polynomiale sera considérée. En particulier, les
conditions d'existence de sous-espaces invariants seront
identifiées. Les conséquences et perspectives pour les
modèles intégrables précités seront brièvement décrites.
Travail en collaboration avec X. Martin (LMPT Tours). |
